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segunda-feira, 15 de agosto de 2016

Como calcular logartmos numericamente

Os logaritmos já ajudaram muito os engenheiros do passado. Usando os seus princípios, eles construíram a precursora da Calculadora: a régua de cálculo:

A régua de cálculo transformava multiplicações em somas e divisões em subtrações, como é de se esperar que as propriedades dos logaritmos tornem isto possível. Mas como eles foram calculados ?

Um exemplo com logaritmo de 2

Sendo o número 2 inferior à base (10), iniciamos o seu valor com:

0, ...

Como ele não pode ser dividido por 10 (a base do logarítmo decimal), elevamos o mesmo à décima potência:

210 = 1024

Este será o número que dará origem à próxima casa decimal de nosso logarítmo. Façamos as divisões sucessivas por 10 (a base):

1024/10 = 102,4
102,4/10 = 10,24
10,24 = 1,024 (resultado menor que 10 [a base], então paramos)

Foram 3 divisões até se obter um valor inferior a 10 (a base), portanto acrescentamos 3 ao valor do logaritmo:

0,3 ...


Como ele não pode ser dividido por 10 (a base do logarítmo decimal), elevamos o mesmo à décima potência:

1,02410 = 1,2676506002

Este será o número que dará origem à próxima casa decimal de nosso logarítmo. Como o número resultante da exponenciação à décima potência é menor que 10, não podemos fazer as divisões sucessivas por 10 (a base), desta forma acrescentamos um 0 ao valor do logarítmo:

0,30 ...


Como ele não pode ser dividido por 10 (a base do logarítmo decimal), elevamos o mesmo à décima potência:

1,267650600210 =10,7150860694

Este será o número que dará origem à próxima casa decimal de nosso logarítmo. Façamos as divisões sucessivas por 10 (a base):

10,7150860694/10 = 1,07150860694 (resultado menor que 10 [a base], então paramos)

Foi 1 divisão até se obter um valor inferior a 10 (a base), portanto acrescentamos 1 ao valor do logaritmo:

0,301 ...


Como ele não pode ser dividido por 10 (a base do logarítmo decimal), elevamos o mesmo à décima potência:

1,0715086069410 =1,9950631122

Este será o número que dará origem à próxima casa decimal de nosso logarítmo. Como o número resultante da exponenciação à décima potência é menor que 10, não podemos fazer as divisões sucessivas por 10 (a base), desta forma acrescentamos um 0 ao valor do logarítmo:

0,3010 ...

Como ele não pode ser dividido por 10 (a base do logarítmo decimal), elevamos o mesmo à décima potência:

1,995063112210 =999,0020695760

Este será o número que dará origem à próxima casa decimal de nosso logarítmo. Façamos as divisões sucessivas por 10 (a base):

999,0020695760/10 = 99,90020695760
99,90020695760/10 = 9,990020695760 (resultado menor que 10 [a base], então paramos)

Foram 2 divisões até se obter um valor inferior a 10 (a base), portanto acrescentamos 2 ao valor do logaritmo:

0,30102 ...

Esta é a nossa aproximação com 5 casas do logaritmo de 2 na base 10. Poderíamos continuar com o cálculo, mas nosso objetivo é apenas demonstrar o cálculo do logarítmo.

terça-feira, 26 de julho de 2016

Como calcular percentual - como se calcula tantos porcento

Pode parecer um absurdo mostrar como se calcula o percentual. Isto é ensinado na escola, e deveria ser de domínio público e de conhecimento universal. No entamto, nos anos 2000, ápice das Redes Sociais, das Pegadinhas na TV e dos Reality Shows, este é um conhecimento que foi esquecido. Então vamos ressuscitar o tema.

O que significa percentual

O nome Percentual ou Porcento quer dizer uma proporção em relação a 100. Ou seja, comparamos quaisquer quantidades proporcionalmente.

Por exemplo:

Uma fábrica recebe 300 canos de aço em um mês. Destes, 60 vem com defeito. No mês seguinte, recebe 1000 canos, e destes 100 vem com defeito. Pergunta-se:

Qual das duas remessas pode ser considerada a mais defeituosa ?

Não podemos usar valores absolutos, e dizer que a do segundo mês foi pior, pois estamos comparando quantidades diferentes de canos enviados. Recorremos ao percentual:


Primeiro mês:


60 / 300 = 0,20 (valor relativo)

0,20 x 100 = 20 % (valor percentual, ou seja, valor relativo vezes 100)

Segundo mês:


100 / 1000 = 0,10 (valor relativo)

0,10 x 100 = 10 % (valor percentual, ou seja, valor relativo vezes 100)

Explicação

O leitor compreendeu o que foi feito ? Transformamos os valores relativos entre si em valores relativos a 100 (percentual), para fazermos a comparação em relação a um único referencial, convencionado como o número 100. Apenas isto.

Resultado

A amostra mais defeituosa é aquela de maior percentual de canos defeituosos, ou seja, a do primeiro mês de remessa. E como isto pode ser explicado em termos sensíveis ?

A primeira remessa é menos numerosa, portanto poucos defeitos contam muito. A segunda é bem maior portanto, para produzir uma impressão de defeito, é necessária uma quantidade maior de canos defeituosos.

A comparação por percentual harmonizou a razão entre os canos defeituosos e os canos remetidos.

Conclusão

O percentual oferece uma base única para comparações. Podemos comparar quantidades diferentes, tanto da remessa enviada, quanta das peças que apresentaram defeito.

Uma das principais aplicações em nosso cotidiano é a taxa de inflação

 


sexta-feira, 18 de janeiro de 2013

Consumo de combustível - erro de interpretação

Foi apresentado o seguinte problema aos alunos da 6a. série:

Um motorista consegue percorrer 300 km com exatamente 3/4 do tanque. Quanto quilômetros ele fará com metade do tanque ?


Existem duas interpretações para o problema:

  • A impulsiva instintiva;
  • A abordagem inteligente.
Inpulsiva instintiva

A impulsiva instintiva se baseia em algo muito comum nas salas de aula de crianças de 12 anos. Eles decoram um macete que pode dar tremendamente errado: " ... quando acontecer isto, divide pelo número de baixo ...".

Então os alunos desavisados fazem a conta ERRADA, pela sua impulsividade e falta de raciocínio:



Tirando a prova, olha o que acontece.

Como são 3 partes preenchidas, multiplicamos cada uma por 75 km (resposta achada para cada parte):

75 km x 3 = 225 km

Ou seja, fazendo a prova lógica do problema, ainda no enunciado, achamos menos de 300 Km.

A forma inteligente

VEMOS CLARAMENTE pelo desenho que 300 Km corresponde ao gasto com 3 (três) partes do tanque, e não 4 (quatro). A quarta parte está vazia, PORTANTO NÃO CONTA COMO PARTE.

Portanto, a conta correta é:

Viu ? Para descobrir quanto vale cada parte, divida o equivalente em km da soma das partes, pelo número de partes. Pare de ouvir o que os colegas falam para tentar resolver o problema de uma vez só (e errado), e PENSE COM A SUA CABEÇA.

Segunda parte da resolução do problema

Agora é preciso calcular quantos quilômetros se faz com metade do tanque. Metade de um tanque que tem 4 partes equivale a duas partes:

Portanto, meio tanque, ou 2 partes de um tanque com 4 partes, dá para andar 200 Km com o veículo do problema.



sexta-feira, 11 de janeiro de 2013

Geometria - Problema envolvendo áreas - Quadrados

Os problemas com áreas geométricas envolvem o uso de estratégias visuais complementares e diferenças, como iremos constatar neste problema:


Estes quadrados representam divisões de um grande terreno. Cada pessoa (A, B, C, D e E) comprou uma parte do terreno.

Enunciado

Os terrenos A, D e E tem a forma de quadrados IGUAIS. O quadrado A tem 3 m de lado. B e C também são quadrados, e são iguais.

Resoluç~so do Problema

O aluno deve deduzir que, se A é um quadrado, AMBOS os lados tem a mesma medida, como mostrado abaixo. E como o enunciado fala que D e E são como o quadrado A, todos tem asa mesmas medidas.

Até agora temos o seguinte:


E como descobrir as medidas dos quadrados B e C (iguais) ?

Se eles são iguais, os 3 m do lado do quadrado A, ou D, representam o DOBRO de B ou C, portanto, basta dividir 3 m (lado do quadrado A ou D) por 2, obtendo 1,5 m, como mostrado abaixo.


Feito isto, vamos somar, usando as simplificações deduzidas do fato de termos quadrados iguais e de dois tipos, as áreas dos quadrados:

Quadrados maiores (A, D e E)

3 x 3 m x 3 m = 27 m2

Já partimos para a multiplicação por 3 pelo fato dos três quadfrados maiores serem idênticos, logo possuem a mesma área.

Quadrados menores (B e C)

2 x 1,5 m x 1,5 m = 4,5 m2

Somando as áreas de todos os quadrados conhecidos

27 m2 + 4,5 m=  31,5 m2

Bem, temos as áreas conhecidas. A área hachurada é a que queremos achar. Para isto, é preciso subtrair da área de TODO o terreno, as áreas conhecidas e já calculadas.

Área de TODO o terreno

( 3 m + 1,5 m + 3 m) x ( 3 m + 3 m ) = 7,5 m x 6 m = 45 m2

Tirando da área de TODO o terreno as áreas conhecidas

45 m- 31,5 m=  13,5 m2


Problema Resolvido

terça-feira, 8 de janeiro de 2013

Regra de três - Problemas típicos

Gasto de combustível

Para fazer os deslocamentos de automóvel para o trabalho, Sara Jane gasta 44 litros de álcool por mês. Quanto ela gasta por ano para trabalhar, levando em conta que tira 30 dias de férias ?

Encarando este problema matemático do ponto de vista dedutivo, uma pessoa experimentada logo multiplicaria 44 x 12 para obter o número de litros a gastar. Depois, lembrando que o problema menciona férias de 30 dias, que equivale a um mês (30/31 dias), ela refaz a operação em 44 x 11, cujo resultado é: 484 litros.

Mas de onde veio a dedução de que a operação a ser feita seria a multiplicação ?

Veio do raciocínio proporcional, que é o mais correto:

44 litros EQUIVALE a 1 mês de consumo, ASSIM COMO X litros EQUIVALE a 1 ano menos 1 mês de consumo.

Unificando as unidades, teríamos o raciocínio traduzido para:

44 litros EQUIVALE a 1 mês de consumo, ASSIM COMO X litros EQUIVALE a 11 meses de consumo.

Existem duas formas de expressar aritmeticamente esta verdade matemática:


Você vai observar que o resultado dá o mesmo em um e no outro caso.

Escolhendo a forma mais adequada

Como a primeira forma já tem o X na parte superior das frações, vamos escolhê-la.


Movimento diagonal em uma proporção

Quando um elemento de uma igualdade que expressa este tipo de proporcionalidade troca de lado, ele só pode fazê-lo nas diagonais, como o bispo no jogo de xadrez.

Ao fazer este movimento, ele multiplica o número que está na posição final. Foi isto que aconteceu com o número 11. Ele estava em baixo à direita e subiu para o lado esquerdo em cima (movimento diagonal). Ao fazer isto, ele foi multiplicar o número que divide com ele a parte de cima à esquerda desta igualdade.

Resultado

Efetuando os cálculos, o resultado é : 44 x 11 = 484.

Contra-exemplo do movimento diagonal na igualdade

Esta operação NÃO TEM NADA A VER com o problema apresentado acima. Ela só vai explicar o que não vale para o movimento na diagonal.


Nesta operação, não podemos "subir" o número 11 para a esquerda SEM ANTES fazer o mínimo múltiplo comum entre as duas frações da esquerda, normalizando os valores e transformando-os em uma única fração.

Quando isto for feito, então a regra do movimento diagonal vai valer.


segunda-feira, 7 de janeiro de 2013

Entendendo e calculando percentual

A necessidade e o uso de percentuais surgiu do problema de se comparar grandezas diferentes em relação a um conjunto total também diferente.

Por exemplo:

É dada uma situação problema em que se deseja COMPARAR o rendimento de um aluno em duas provas de Vestibular, das mesmas matérias em anos diferentes.

O problema

No ano de 1990, ele fez uma prova final de Geografia com 80 questões e acertou 60 delas. Em 1991, ele fez outra prova, mas por falta de profissionais para corrigir, o número de questões foi reduzido para 50 questões. Destas ele acertou 40. Em qual ano ele teve o melhor rendimento ?

Princípios de resolução do problema

Se o número de questões da prova fosse o mesmo, o problema se resolveria simplesmente comparando o número de questões que ele acertou.

No entanto, não é este o caso. Aqui é preciso analisar a proporcionalidade entre questões acertadas e total de questões fornecidas.

Em ambos os casos (anos) vamos dividir os acertos pelo número total de questões fornecidas:



Em percentual. Para obter os percentuais, basta tomar os resultados e multiplicá-los por cem (100), obtendo 75 % para 1990 e 85 % para 1991.

Portanto, em 1991 o aproveitamento do aluno foi melhor.

quarta-feira, 26 de dezembro de 2012

Conversor de unidades com garrafa PET

Com um estilete, corte a parte exatamente cilíndrica de uma garrafa PET.

A cola branca, assim como outros tipos de cola, não pegam muito bem no plástico, e aquilo que você colou acaba se descolando. Mas existe uma técnica. Passe uma camada de cola sobre o plástico da PET e aplique uma camada de papel higiênico sobre ela. Você vai observar que, após seca a cola, o papel higiênico se funde com o plástico.


Após seca, aplique uma tira de papel com o tamanho suficiente para dar uma volta em torno da circunferência da garrafa, colando na camada de papel higiênico já seca.

 Cole sobre esta camada de papel uma tira com as unidades de comprimento (km, hm, dam, m, dm, cm, mm), separadas em uma tabela onde cada unidade tem 1cm de largura.


Agora faça um anel que ocupe toda a circunferência da garrafa, sem colá-lo na camada de papel da garrafa, de modo que possa girar livremente.


Vamos colocar o número 2 do anel do valor (com cada casa também ocupando 1 cm de largura) sobre a casa de km (quilômetro), e vamos fazer algumas observações:

2.749.625 de milímetros é o mesmo que 274.962,5 centímetros, que é o mesmo que 27.496,25 decímetros, e assim por diante.


 Aqui giramos mo anel do número, colocando o número 2 na casa dos metros. Assim, 2749,625 milímetros equivalem a 274,9625 centímetros, ou 27,49625 decímetros, e assim por diante.

Gostou do brinquedinho ?