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quarta-feira, 2 de agosto de 2017

Cálculo de raiz quadrada utilizando uma progressão geométrica em Excel

Apesar de ocupar pouco espaço no currículo do nível médio, o cálculo de raiz quadrada, nos moldes curriculares vigentes, pode ser classificado de complexo.

Porém, o renomado matemático Napier, inventor dos logaritmos, nos deu uma pista de como isto poderia ser feito, em sua análise das progressões geométricas.

Vamos exemplificar o uso das progressões no Cálculo da Raiz Quadrada de 4.

Novamente vamos utilizar a progressão geométrica de base 1,1. Vamos construir a tabela de progressão até o valor mais próximo de 4 e acima.


Utilizando o recurso da Interpolação, vamos procurar o valor exato, na escala aritmética (coluna da esquerda) correspondente ao número 4, objeto de nossa procura pela raiz. Observamos a coluna da direita e verificamos que este valor está entre 3,79749833583241 e 4,17724816941566, correspondente à região entre o 14 e o 15 da escala aritmética (coluna da esquerda).

Montamos a equação da proporção entre os valores como mostrado a seguir:


Como se trata da raiz quadrada, cujo expoente inverso é o 2 (se fosse a raiz cúbica seria o 3 e assim por diante):


Utilizamos o valor obtido para nova interpolação nesta mesma tabela, para achar, na progressão geométrica (coluna da direita) o valor correspondente ao x/2 achado na equação acima, obtendo:


O resultado obtido é bem próximo da raiz exata conhecida de 4, ou seja, 2 com erro na quarta casa decimal, considerado muito adequado, tendo nós utilizado um valor não muito baixo para a progressão.

Repare que o processo é muito simples, envolvendo apenas a interpolação de intervalos e, de longe, bem mais rápido do que aquele que consta nos livros didáticos.

terça-feira, 1 de agosto de 2017

Cálculo de logaritmos utilizando uma progressão geométrica em Excel

As progressões geométricas são olhadas como simples conteúdo didático. No entanto, sua primeira serventia aparece quando é ministrado o conteúdo de matemática financeira, para compreensão de juros compostos.

O que pouca gente sabe, é que as progressões geométricas podem nos fornecer, facilmente, os valores dos logaritmos. Este é um dos resultados dos trabalhos do matemático escocês John Napier, um verdadeiro gênio, inventor dos logaritmos que, por anos, simplificaram os cálculos manuais dos matemáticos e engenheiros.

Observe a tabela a seguir:


Esta tabela é uma progressão de base 1,1. Por que escolhemos este número ? Porque a multiplicação por 1,1 é muito fácil. Basta escrever o número, e depois repetir o mesmo deslocado de uma casa decimal. Por exemplo:
   1,1
      1,1 x
   1 1
   1 1     
  1, 2 1 
Escrevemos o número 11, e abaixo novamente, apenas deslocado de uma casa à esquerda. Portanto, esta progressão não trará nenhuma dificuldade, e vai servir a vários propósitos, como você verá neste e em outros posts.

Por que interrompemos a progressão no valor 10,83... ? Porque o valor do logaritmo de 10 é bem conhecido, ou seja, o logaritmo de 1o na base 10 é a própria unidade, pois o logaritmo de 10 na base 10 é 1 (número igual à base).

No quadro a seguir destacamos o local onde será encontrado o valor de 10, por interpolação, na progressão.



A seguir, o mesmo para o número 9.


E o mesmo para o número 2.


O próximo passo é achar o valor na escala aritmética (primeira coluna) o valor correspondente ao 10 na progressão geométrica (segunda coluna). Para fazê-lo, formulamos a proporção direta a seguir. A distância do número 25 (maior valor da progressão aritmética, em relação ao 10) menos o valor que estamos procurando, em relação ao valor 10,8347059433884 (maior valor da progressão geométrica, em relação ao 10) é proporcional à razão entre a diferença entre 25 e 24 (valores na escala aritmética) e a diferença entre os valores correspondentes a 25 e 24 na escala geométrica (10,83 ... e 9,84...).


O resultado é mostrado a seguir, e vai servir de referência para se obter os outros logaritmos. Lembre-se que isto é uma verdade pelo fato do logaritmo de 10 ser conhecido.


Ou seja, para o valor achado na escala aritmética, o valor do logaritmo, na base 10, é 1.


Agora, fazemos o mesmo para o número 9. Esperamos que ele esteja, em relação à progressão aritmética, entre os números 23 e 24. Formulamos a mesma proporção feita para se achar o número 10 na progressão geométrica (segunda coluna).


Achamos que o valor de 9 corresponde ao número mostrado a seguir:


Este valor nós dividimos pelo valor achado para o 10, nosso valor referência:


Pode conferir em uma tabela de logaritmos ou na calculadora, o valor do logaritmo de 9, para ver que esta é uma boa aproximação.

E, finalmente, façamos os mesmos procedimentos para o número 2. Esperamos achá-lo entre os valores 7 e 8 em relação à progressão aritmética:


Obtemos o valor para a segunda coluna:



E dividimos pelo valor referencial para 10, como anteriormente fizemos para o número 9, obtendo:


Este valor é uma boa aproximação para o logaritmo de 2, como você pode constatar pela calculadora ou através de uma tabela de logaritmos.

segunda-feira, 15 de agosto de 2016

Como calcular logaritmos numericamente

Os logaritmos já ajudaram muito os engenheiros do passado. Usando os seus princípios, eles construíram a precursora da Calculadora: a régua de cálculo:

A régua de cálculo transformava multiplicações em somas e divisões em subtrações, como é de se esperar que as propriedades dos logaritmos tornem isto possível. Mas como eles foram calculados ?

Um exemplo com logaritmo de 2

Sendo o número 2 inferior à base (10), iniciamos o seu valor com:

0, ...

Como ele não pode ser dividido por 10 (a base do logarítmo decimal), elevamos o mesmo à décima potência:

210 = 1024

Este será o número que dará origem à próxima casa decimal de nosso logarítmo. Façamos as divisões sucessivas por 10 (a base):

1024/10 = 102,4
102,4/10 = 10,24
10,24 = 1,024 (resultado menor que 10 [a base], então paramos)

Foram 3 divisões até se obter um valor inferior a 10 (a base), portanto acrescentamos 3 ao valor do logaritmo:

0,3 ...


Como ele não pode ser dividido por 10 (a base do logarítmo decimal), elevamos o mesmo à décima potência:

1,02410 = 1,2676506002

Este será o número que dará origem à próxima casa decimal de nosso logarítmo. Como o número resultante da exponenciação à décima potência é menor que 10, não podemos fazer as divisões sucessivas por 10 (a base), desta forma acrescentamos um 0 ao valor do logarítmo:

0,30 ...


Como ele não pode ser dividido por 10 (a base do logarítmo decimal), elevamos o mesmo à décima potência:

1,267650600210 =10,7150860694

Este será o número que dará origem à próxima casa decimal de nosso logarítmo. Façamos as divisões sucessivas por 10 (a base):

10,7150860694/10 = 1,07150860694 (resultado menor que 10 [a base], então paramos)

Foi 1 divisão até se obter um valor inferior a 10 (a base), portanto acrescentamos 1 ao valor do logaritmo:

0,301 ...


Como ele não pode ser dividido por 10 (a base do logarítmo decimal), elevamos o mesmo à décima potência:

1,0715086069410 =1,9950631122

Este será o número que dará origem à próxima casa decimal de nosso logarítmo. Como o número resultante da exponenciação à décima potência é menor que 10, não podemos fazer as divisões sucessivas por 10 (a base), desta forma acrescentamos um 0 ao valor do logarítmo:

0,3010 ...

Como ele não pode ser dividido por 10 (a base do logarítmo decimal), elevamos o mesmo à décima potência:

1,995063112210 =999,0020695760

Este será o número que dará origem à próxima casa decimal de nosso logarítmo. Façamos as divisões sucessivas por 10 (a base):

999,0020695760/10 = 99,90020695760
99,90020695760/10 = 9,990020695760 (resultado menor que 10 [a base], então paramos)

Foram 2 divisões até se obter um valor inferior a 10 (a base), portanto acrescentamos 2 ao valor do logaritmo:

0,30102 ...

Esta é a nossa aproximação com 5 casas do logaritmo de 2 na base 10. Poderíamos continuar com o cálculo, mas nosso objetivo é apenas demonstrar o cálculo do logarítmo.

terça-feira, 26 de julho de 2016

Como calcular percentual - como se calcula tantos porcento

Pode parecer um absurdo mostrar como se calcula o percentual. Isto é ensinado na escola, e deveria ser de domínio público e de conhecimento universal. No entamto, nos anos 2000, ápice das Redes Sociais, das Pegadinhas na TV e dos Reality Shows, este é um conhecimento que foi esquecido. Então vamos ressuscitar o tema.

O que significa percentual

O nome Percentual ou Porcento quer dizer uma proporção em relação a 100. Ou seja, comparamos quaisquer quantidades proporcionalmente.

Por exemplo:

Uma fábrica recebe 300 canos de aço em um mês. Destes, 60 vem com defeito. No mês seguinte, recebe 1000 canos, e destes 100 vem com defeito. Pergunta-se:

Qual das duas remessas pode ser considerada a mais defeituosa ?

Não podemos usar valores absolutos, e dizer que a do segundo mês foi pior, pois estamos comparando quantidades diferentes de canos enviados. Recorremos ao percentual:


Primeiro mês:


60 / 300 = 0,20 (valor relativo)

0,20 x 100 = 20 % (valor percentual, ou seja, valor relativo vezes 100)

Segundo mês:


100 / 1000 = 0,10 (valor relativo)

0,10 x 100 = 10 % (valor percentual, ou seja, valor relativo vezes 100)

Explicação

O leitor compreendeu o que foi feito ? Transformamos os valores relativos entre si em valores relativos a 100 (percentual), para fazermos a comparação em relação a um único referencial, convencionado como o número 100. Apenas isto.

Resultado

A amostra mais defeituosa é aquela de maior percentual de canos defeituosos, ou seja, a do primeiro mês de remessa. E como isto pode ser explicado em termos sensíveis ?

A primeira remessa é menos numerosa, portanto poucos defeitos contam muito. A segunda é bem maior portanto, para produzir uma impressão de defeito, é necessária uma quantidade maior de canos defeituosos.

A comparação por percentual harmonizou a razão entre os canos defeituosos e os canos remetidos.

Conclusão

O percentual oferece uma base única para comparações. Podemos comparar quantidades diferentes, tanto da remessa enviada, quanta das peças que apresentaram defeito.

Uma das principais aplicações em nosso cotidiano é a taxa de inflação

 


sexta-feira, 18 de janeiro de 2013

Consumo de combustível - erro de interpretação

Foi apresentado o seguinte problema aos alunos da 6a. série:

Um motorista consegue percorrer 300 km com exatamente 3/4 do tanque. Quanto quilômetros ele fará com metade do tanque ?


Existem duas interpretações para o problema:

  • A impulsiva instintiva;
  • A abordagem inteligente.
Inpulsiva instintiva

A impulsiva instintiva se baseia em algo muito comum nas salas de aula de crianças de 12 anos. Eles decoram um macete que pode dar tremendamente errado: " ... quando acontecer isto, divide pelo número de baixo ...".

Então os alunos desavisados fazem a conta ERRADA, pela sua impulsividade e falta de raciocínio:



Tirando a prova, olha o que acontece.

Como são 3 partes preenchidas, multiplicamos cada uma por 75 km (resposta achada para cada parte):

75 km x 3 = 225 km

Ou seja, fazendo a prova lógica do problema, ainda no enunciado, achamos menos de 300 Km.

A forma inteligente

VEMOS CLARAMENTE pelo desenho que 300 Km corresponde ao gasto com 3 (três) partes do tanque, e não 4 (quatro). A quarta parte está vazia, PORTANTO NÃO CONTA COMO PARTE.

Portanto, a conta correta é:

Viu ? Para descobrir quanto vale cada parte, divida o equivalente em km da soma das partes, pelo número de partes. Pare de ouvir o que os colegas falam para tentar resolver o problema de uma vez só (e errado), e PENSE COM A SUA CABEÇA.

Segunda parte da resolução do problema

Agora é preciso calcular quantos quilômetros se faz com metade do tanque. Metade de um tanque que tem 4 partes equivale a duas partes:

Portanto, meio tanque, ou 2 partes de um tanque com 4 partes, dá para andar 200 Km com o veículo do problema.



sexta-feira, 11 de janeiro de 2013

Geometria - Problema envolvendo áreas - Quadrados

Os problemas com áreas geométricas envolvem o uso de estratégias visuais complementares e diferenças, como iremos constatar neste problema:


Estes quadrados representam divisões de um grande terreno. Cada pessoa (A, B, C, D e E) comprou uma parte do terreno.

Enunciado

Os terrenos A, D e E tem a forma de quadrados IGUAIS. O quadrado A tem 3 m de lado. B e C também são quadrados, e são iguais.

Resoluç~so do Problema

O aluno deve deduzir que, se A é um quadrado, AMBOS os lados tem a mesma medida, como mostrado abaixo. E como o enunciado fala que D e E são como o quadrado A, todos tem asa mesmas medidas.

Até agora temos o seguinte:


E como descobrir as medidas dos quadrados B e C (iguais) ?

Se eles são iguais, os 3 m do lado do quadrado A, ou D, representam o DOBRO de B ou C, portanto, basta dividir 3 m (lado do quadrado A ou D) por 2, obtendo 1,5 m, como mostrado abaixo.


Feito isto, vamos somar, usando as simplificações deduzidas do fato de termos quadrados iguais e de dois tipos, as áreas dos quadrados:

Quadrados maiores (A, D e E)

3 x 3 m x 3 m = 27 m2

Já partimos para a multiplicação por 3 pelo fato dos três quadfrados maiores serem idênticos, logo possuem a mesma área.

Quadrados menores (B e C)

2 x 1,5 m x 1,5 m = 4,5 m2

Somando as áreas de todos os quadrados conhecidos

27 m2 + 4,5 m=  31,5 m2

Bem, temos as áreas conhecidas. A área hachurada é a que queremos achar. Para isto, é preciso subtrair da área de TODO o terreno, as áreas conhecidas e já calculadas.

Área de TODO o terreno

( 3 m + 1,5 m + 3 m) x ( 3 m + 3 m ) = 7,5 m x 6 m = 45 m2

Tirando da área de TODO o terreno as áreas conhecidas

45 m- 31,5 m=  13,5 m2


Problema Resolvido

terça-feira, 8 de janeiro de 2013

Regra de três - Problemas típicos

Gasto de combustível

Para fazer os deslocamentos de automóvel para o trabalho, Sara Jane gasta 44 litros de álcool por mês. Quanto ela gasta por ano para trabalhar, levando em conta que tira 30 dias de férias ?

Encarando este problema matemático do ponto de vista dedutivo, uma pessoa experimentada logo multiplicaria 44 x 12 para obter o número de litros a gastar. Depois, lembrando que o problema menciona férias de 30 dias, que equivale a um mês (30/31 dias), ela refaz a operação em 44 x 11, cujo resultado é: 484 litros.

Mas de onde veio a dedução de que a operação a ser feita seria a multiplicação ?

Veio do raciocínio proporcional, que é o mais correto:

44 litros EQUIVALE a 1 mês de consumo, ASSIM COMO X litros EQUIVALE a 1 ano menos 1 mês de consumo.

Unificando as unidades, teríamos o raciocínio traduzido para:

44 litros EQUIVALE a 1 mês de consumo, ASSIM COMO X litros EQUIVALE a 11 meses de consumo.

Existem duas formas de expressar aritmeticamente esta verdade matemática:


Você vai observar que o resultado dá o mesmo em um e no outro caso.

Escolhendo a forma mais adequada

Como a primeira forma já tem o X na parte superior das frações, vamos escolhê-la.


Movimento diagonal em uma proporção

Quando um elemento de uma igualdade que expressa este tipo de proporcionalidade troca de lado, ele só pode fazê-lo nas diagonais, como o bispo no jogo de xadrez.

Ao fazer este movimento, ele multiplica o número que está na posição final. Foi isto que aconteceu com o número 11. Ele estava em baixo à direita e subiu para o lado esquerdo em cima (movimento diagonal). Ao fazer isto, ele foi multiplicar o número que divide com ele a parte de cima à esquerda desta igualdade.

Resultado

Efetuando os cálculos, o resultado é : 44 x 11 = 484.

Contra-exemplo do movimento diagonal na igualdade

Esta operação NÃO TEM NADA A VER com o problema apresentado acima. Ela só vai explicar o que não vale para o movimento na diagonal.


Nesta operação, não podemos "subir" o número 11 para a esquerda SEM ANTES fazer o mínimo múltiplo comum entre as duas frações da esquerda, normalizando os valores e transformando-os em uma única fração.

Quando isto for feito, então a regra do movimento diagonal vai valer.