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sexta-feira, 18 de janeiro de 2013

Consumo de combustível - erro de interpretação

Foi apresentado o seguinte problema aos alunos da 6a. série:

Um motorista consegue percorrer 300 km com exatamente 3/4 do tanque. Quanto quilômetros ele fará com metade do tanque ?


Existem duas interpretações para o problema:

  • A impulsiva instintiva;
  • A abordagem inteligente.
Inpulsiva instintiva

A impulsiva instintiva se baseia em algo muito comum nas salas de aula de crianças de 12 anos. Eles decoram um macete que pode dar tremendamente errado: " ... quando acontecer isto, divide pelo número de baixo ...".

Então os alunos desavisados fazem a conta ERRADA, pela sua impulsividade e falta de raciocínio:



Tirando a prova, olha o que acontece.

Como são 3 partes preenchidas, multiplicamos cada uma por 75 km (resposta achada para cada parte):

75 km x 3 = 225 km

Ou seja, fazendo a prova lógica do problema, ainda no enunciado, achamos menos de 300 Km.

A forma inteligente

VEMOS CLARAMENTE pelo desenho que 300 Km corresponde ao gasto com 3 (três) partes do tanque, e não 4 (quatro). A quarta parte está vazia, PORTANTO NÃO CONTA COMO PARTE.

Portanto, a conta correta é:

Viu ? Para descobrir quanto vale cada parte, divida o equivalente em km da soma das partes, pelo número de partes. Pare de ouvir o que os colegas falam para tentar resolver o problema de uma vez só (e errado), e PENSE COM A SUA CABEÇA.

Segunda parte da resolução do problema

Agora é preciso calcular quantos quilômetros se faz com metade do tanque. Metade de um tanque que tem 4 partes equivale a duas partes:

Portanto, meio tanque, ou 2 partes de um tanque com 4 partes, dá para andar 200 Km com o veículo do problema.



sexta-feira, 11 de janeiro de 2013

Geometria - Problema envolvendo áreas - Quadrados

Os problemas com áreas geométricas envolvem o uso de estratégias visuais complementares e diferenças, como iremos constatar neste problema:


Estes quadrados representam divisões de um grande terreno. Cada pessoa (A, B, C, D e E) comprou uma parte do terreno.

Enunciado

Os terrenos A, D e E tem a forma de quadrados IGUAIS. O quadrado A tem 3 m de lado. B e C também são quadrados, e são iguais.

Resoluç~so do Problema

O aluno deve deduzir que, se A é um quadrado, AMBOS os lados tem a mesma medida, como mostrado abaixo. E como o enunciado fala que D e E são como o quadrado A, todos tem asa mesmas medidas.

Até agora temos o seguinte:


E como descobrir as medidas dos quadrados B e C (iguais) ?

Se eles são iguais, os 3 m do lado do quadrado A, ou D, representam o DOBRO de B ou C, portanto, basta dividir 3 m (lado do quadrado A ou D) por 2, obtendo 1,5 m, como mostrado abaixo.


Feito isto, vamos somar, usando as simplificações deduzidas do fato de termos quadrados iguais e de dois tipos, as áreas dos quadrados:

Quadrados maiores (A, D e E)

3 x 3 m x 3 m = 27 m2

Já partimos para a multiplicação por 3 pelo fato dos três quadfrados maiores serem idênticos, logo possuem a mesma área.

Quadrados menores (B e C)

2 x 1,5 m x 1,5 m = 4,5 m2

Somando as áreas de todos os quadrados conhecidos

27 m2 + 4,5 m=  31,5 m2

Bem, temos as áreas conhecidas. A área hachurada é a que queremos achar. Para isto, é preciso subtrair da área de TODO o terreno, as áreas conhecidas e já calculadas.

Área de TODO o terreno

( 3 m + 1,5 m + 3 m) x ( 3 m + 3 m ) = 7,5 m x 6 m = 45 m2

Tirando da área de TODO o terreno as áreas conhecidas

45 m- 31,5 m=  13,5 m2


Problema Resolvido

terça-feira, 8 de janeiro de 2013

Regra de três - Problemas típicos

Gasto de combustível

Para fazer os deslocamentos de automóvel para o trabalho, Sara Jane gasta 44 litros de álcool por mês. Quanto ela gasta por ano para trabalhar, levando em conta que tira 30 dias de férias ?

Encarando este problema matemático do ponto de vista dedutivo, uma pessoa experimentada logo multiplicaria 44 x 12 para obter o número de litros a gastar. Depois, lembrando que o problema menciona férias de 30 dias, que equivale a um mês (30/31 dias), ela refaz a operação em 44 x 11, cujo resultado é: 484 litros.

Mas de onde veio a dedução de que a operação a ser feita seria a multiplicação ?

Veio do raciocínio proporcional, que é o mais correto:

44 litros EQUIVALE a 1 mês de consumo, ASSIM COMO X litros EQUIVALE a 1 ano menos 1 mês de consumo.

Unificando as unidades, teríamos o raciocínio traduzido para:

44 litros EQUIVALE a 1 mês de consumo, ASSIM COMO X litros EQUIVALE a 11 meses de consumo.

Existem duas formas de expressar aritmeticamente esta verdade matemática:


Você vai observar que o resultado dá o mesmo em um e no outro caso.

Escolhendo a forma mais adequada

Como a primeira forma já tem o X na parte superior das frações, vamos escolhê-la.


Movimento diagonal em uma proporção

Quando um elemento de uma igualdade que expressa este tipo de proporcionalidade troca de lado, ele só pode fazê-lo nas diagonais, como o bispo no jogo de xadrez.

Ao fazer este movimento, ele multiplica o número que está na posição final. Foi isto que aconteceu com o número 11. Ele estava em baixo à direita e subiu para o lado esquerdo em cima (movimento diagonal). Ao fazer isto, ele foi multiplicar o número que divide com ele a parte de cima à esquerda desta igualdade.

Resultado

Efetuando os cálculos, o resultado é : 44 x 11 = 484.

Contra-exemplo do movimento diagonal na igualdade

Esta operação NÃO TEM NADA A VER com o problema apresentado acima. Ela só vai explicar o que não vale para o movimento na diagonal.


Nesta operação, não podemos "subir" o número 11 para a esquerda SEM ANTES fazer o mínimo múltiplo comum entre as duas frações da esquerda, normalizando os valores e transformando-os em uma única fração.

Quando isto for feito, então a regra do movimento diagonal vai valer.


segunda-feira, 7 de janeiro de 2013

Entendendo e calculando percentual

A necessidade e o uso de percentuais surgiu do problema de se comparar grandezas diferentes em relação a um conjunto total também diferente.

Por exemplo:

É dada uma situação problema em que se deseja COMPARAR o rendimento de um aluno em duas provas de Vestibular, das mesmas matérias em anos diferentes.

O problema

No ano de 1990, ele fez uma prova final de Geografia com 80 questões e acertou 60 delas. Em 1991, ele fez outra prova, mas por falta de profissionais para corrigir, o número de questões foi reduzido para 50 questões. Destas ele acertou 40. Em qual ano ele teve o melhor rendimento ?

Princípios de resolução do problema

Se o número de questões da prova fosse o mesmo, o problema se resolveria simplesmente comparando o número de questões que ele acertou.

No entanto, não é este o caso. Aqui é preciso analisar a proporcionalidade entre questões acertadas e total de questões fornecidas.

Em ambos os casos (anos) vamos dividir os acertos pelo número total de questões fornecidas:



Em percentual. Para obter os percentuais, basta tomar os resultados e multiplicá-los por cem (100), obtendo 75 % para 1990 e 85 % para 1991.

Portanto, em 1991 o aproveitamento do aluno foi melhor.

quarta-feira, 26 de dezembro de 2012

Conversor de unidades com garrafa PET

Com um estilete, corte a parte exatamente cilíndrica de uma garrafa PET.

A cola branca, assim como outros tipos de cola, não pegam muito bem no plástico, e aquilo que você colou acaba se descolando. Mas existe uma técnica. Passe uma camada de cola sobre o plástico da PET e aplique uma camada de papel higiênico sobre ela. Você vai observar que, após seca a cola, o papel higiênico se funde com o plástico.


Após seca, aplique uma tira de papel com o tamanho suficiente para dar uma volta em torno da circunferência da garrafa, colando na camada de papel higiênico já seca.

 Cole sobre esta camada de papel uma tira com as unidades de comprimento (km, hm, dam, m, dm, cm, mm), separadas em uma tabela onde cada unidade tem 1cm de largura.


Agora faça um anel que ocupe toda a circunferência da garrafa, sem colá-lo na camada de papel da garrafa, de modo que possa girar livremente.


Vamos colocar o número 2 do anel do valor (com cada casa também ocupando 1 cm de largura) sobre a casa de km (quilômetro), e vamos fazer algumas observações:

2.749.625 de milímetros é o mesmo que 274.962,5 centímetros, que é o mesmo que 27.496,25 decímetros, e assim por diante.


 Aqui giramos mo anel do número, colocando o número 2 na casa dos metros. Assim, 2749,625 milímetros equivalem a 274,9625 centímetros, ou 27,49625 decímetros, e assim por diante.

Gostou do brinquedinho ?



domingo, 23 de dezembro de 2012

Escala de Medidas de Comprimento - II



Neste post vamos fazer o caminho inverso da conversão de unidades. Vamos caminhar da direita para a esquerda, ou seja, a cada conversão o número correspondente à medida vai diminuir.

Tomemos como referência a medida de 1 cm (centímetro).
Vamos obter o mesmo valor em decímetros:
A vírgula, que ocupa a posição apontada pela seta, anda para a esquerda.

O mesmo valor em metros:

A vírgula, cuja posição é apontada pela seta, andou uma casa para a esquerda. E a adição de um zero foi necessária, para ocupar a casa após a vírgula.

sábado, 22 de dezembro de 2012

Escala de Medidas de Comprimento - I



As abreviaturas tem o seguinte significado:

km - Kilômetro ou quilômetro
hm - Hectômetro
dam - decâmetro
m - metro
dm - decímetro
cm - centímetro
mm - milímetro

Conversões

Primeiramente vamos fazer conversões da esquerda para a direita.

Tomemos como referência 1 quilômetro:


Vamos converter para a próxima unidade, o hectômetro:


Como a conversão, neste caso, é da unidade maior (km), para uma menor (hm), ou seja, da esquerda para a direita na escala, acrescentamos zeros à direita do número.

Vamos converter para a próxima unidade, o decâmetro:


Como a conversão, neste caso, é da unidade maior (hm), para uma menor (dam), ou seja, da esquerda para a direita na escala, acrescentamos zeros à direita do número.

Vamos converter para a próxima unidade, o metro, unidade padrão:


Um quilômetro é igual a 1000 metros, como todos sabemos.

No próximo post falaremos das conversões de unidades menores para maiores, ou seja, da direita para a esquerda.