Cálculo de logaritmos utilizando uma progressão geométrica em Excel

As progressões geométricas são olhadas como simples conteúdo didático. No entanto, sua primeira serventia aparece quando é ministrado o conteúdo de matemática financeira, para compreensão de juros compostos.

O que pouca gente sabe, é que as progressões geométricas podem nos fornecer, facilmente, os valores dos logaritmos. Este é um dos resultados dos trabalhos do matemático escocês John Napier, um verdadeiro gênio, inventor dos logaritmos que, por anos, simplificaram os cálculos manuais dos matemáticos e engenheiros.

Observe a tabela a seguir:

Esta tabela é uma progressão de base 1,1. Por que escolhemos este número ? Porque a multiplicação por 1,1 é muito fácil. Basta escrever o número, e depois repetir o mesmo deslocado de uma casa decimal. Por exemplo:

1,1

1,1 x

1 1

1, 2 1

Escrevemos o número 11, e abaixo novamente, apenas deslocado de uma casa à esquerda. Portanto, esta progressão não trará nenhuma dificuldade, e vai servir a vários propósitos, como você verá neste e em outros posts.

Por que interrompemos a progressão no valor 10,83... ? Porque o valor do logaritmo de 10 é bem conhecido, ou seja, o logaritmo de 1o na base 10 é a própria unidade, pois o logaritmo de 10 na base 10 é 1 (número igual à base).

No quadro a seguir destacamos o local onde será encontrado o valor de 10, por interpolação, na progressão.

A seguir, o mesmo para o número 9.

E o mesmo para o número 2.

O próximo passo é achar o valor na escala aritmética (primeira coluna) o valor correspondente ao 10 na progressão geométrica (segunda coluna). Para fazê-lo, formulamos a proporção direta a seguir. A distância do número 25 (maior valor da progressão aritmética, em relação ao 10) menos o valor que estamos procurando, em relação ao valor 10,8347059433884 (maior valor da progressão geométrica, em relação ao 10) é proporcional à razão entre a diferença entre 25 e 24 (valores na escala aritmética) e a diferença entre os valores correspondentes a 25 e 24 na escala geométrica (10,83 ... e 9,84...).

O resultado é mostrado a seguir, e vai servir de referência para se obter os outros logaritmos. Lembre-se que isto é uma verdade pelo fato do logaritmo de 10 ser conhecido.

Ou seja, para o valor achado na escala aritmética, o valor do logaritmo, na base 10, é 1.

Agora, fazemos o mesmo para o número 9. Esperamos que ele esteja, em relação à progressão aritmética, entre os números 23 e 24. Formulamos a mesma proporção feita para se achar o número 10 na progressão geométrica (segunda coluna).

Achamos que o valor de 9 corresponde ao número mostrado a seguir:

Este valor nós dividimos pelo valor achado para o 10, nosso valor referência:

Pode conferir em uma tabela de logaritmos ou na calculadora, o valor do logaritmo de 9, para ver que esta é uma boa aproximação.

E, finalmente, façamos os mesmos procedimentos para o número 2. Esperamos achá-lo entre os valores 7 e 8 em relação à progressão aritmética: