Como calcular logaritmos numericamente

Os logaritmos já ajudaram muito os engenheiros do passado. Usando os seus princípios, eles construíram a precursora da Calculadora: a régua de cálculo:

A régua de cálculo transformava multiplicações em somas e divisões em subtrações, como é de se esperar que as propriedades dos logaritmos tornem isto possível. Mas como eles foram calculados ?

Um exemplo com logaritmo de 2

Sendo o número 2 inferior à base (10), iniciamos o seu valor com:

0, ...

Como ele não pode ser dividido por 10 (a base do logarítmo decimal), elevamos o mesmo à décima potência:

2¹⁰ = 1024

Este será o número que dará origem à próxima casa decimal de nosso logarítmo. Façamos as divisões sucessivas por 10 (a base):

1024/10 = 102,4
102,4/10 = 10,24
10,24 = 1,024 (resultado menor que 10 [a base], então paramos)

Foram 3 divisões até se obter um valor inferior a 10 (a base), portanto acrescentamos 3 ao valor do logaritmo:

0,3 ...

Como ele não pode ser dividido por 10 (a base do logarítmo decimal), elevamos o mesmo à décima potência:

1,024¹⁰ = 1,2676506002

Este será o número que dará origem à próxima casa decimal de nosso logarítmo. Como o número resultante da exponenciação à décima potência é menor que 10, não podemos fazer as divisões sucessivas por 10 (a base), desta forma acrescentamos um 0 ao valor do logarítmo:

0,30 ...

Como ele não pode ser dividido por 10 (a base do logarítmo decimal), elevamos o mesmo à décima potência:

1,2676506002¹⁰ =10,7150860694

Este será o número que dará origem à próxima casa decimal de nosso logarítmo. Façamos as divisões sucessivas por 10 (a base):

10,7150860694/10 = 1,07150860694 (resultado menor que 10 [a base], então paramos)

Foi 1 divisão até se obter um valor inferior a 10 (a base), portanto acrescentamos 1 ao valor do logaritmo:

0,301 ...

Como ele não pode ser dividido por 10 (a base do logarítmo decimal), elevamos o mesmo à décima potência:

1,07150860694¹⁰ =1,9950631122

Este será o número que dará origem à próxima casa decimal de nosso logarítmo. Como o número resultante da exponenciação à décima potência é menor que 10, não podemos fazer as divisões sucessivas por 10 (a base), desta forma acrescentamos um 0 ao valor do logarítmo:

0,3010 ...

Como ele não pode ser dividido por 10 (a base do logarítmo decimal), elevamos o mesmo à décima potência:

1,9950631122¹⁰ =999,0020695760

Este será o número que dará origem à próxima casa decimal de nosso logarítmo. Façamos as divisões sucessivas por 10 (a base):

999,0020695760/10 = 99,90020695760
99,90020695760/10 = 9,990020695760 (resultado menor que 10 [a base], então paramos)

Foram 2 divisões até se obter um valor inferior a 10 (a base), portanto acrescentamos 2 ao valor do logaritmo:

0,30102 ...

Esta é a nossa aproximação com 5 casas do logaritmo de 2 na base 10. Poderíamos continuar com o cálculo, mas nosso objetivo é apenas demonstrar o cálculo do logarítmo.