Cálculo de raiz quadrada utilizando uma progressão geométrica em Excel

Apesar de ocupar pouco espaço no currículo do nível médio, o cálculo de raiz quadrada, nos moldes curriculares vigentes, pode ser classificado de complexo.

Porém, o renomado matemático Napier, inventor dos logaritmos, nos deu uma pista de como isto poderia ser feito, em sua análise das progressões geométricas.

Vamos exemplificar o uso das progressões no Cálculo da Raiz Quadrada de 4.

Novamente vamos utilizar a progressão geométrica de base 1,1. Vamos construir a tabela de progressão até o valor mais próximo de 4 e acima.

Utilizando o recurso da Interpolação, vamos procurar o valor exato, na escala aritmética (coluna da esquerda) correspondente ao número 4, objeto de nossa procura pela raiz. Observamos a coluna da direita e verificamos que este valor está entre 3,79749833583241 e 4,17724816941566, correspondente à região entre o 14 e o 15 da escala aritmética (coluna da esquerda).

Montamos a equação da proporção entre os valores como mostrado a seguir:

Como se trata da raiz quadrada, cujo expoente inverso é o 2 (se fosse a raiz cúbica seria o 3 e assim por diante):

Utilizamos o valor obtido para nova interpolação nesta mesma tabela, para achar, na progressão geométrica (coluna da direita) o valor correspondente ao x/2 achado na equação acima, obtendo:

O resultado obtido é bem próximo da raiz exata conhecida de 4, ou seja, 2 com erro na quarta casa decimal, considerado muito adequado, tendo nós utilizado um valor não muito baixo para a progressão.

Repare que o processo é muito simples, envolvendo apenas a interpolação de intervalos e, de longe, bem mais rápido do que aquele que consta nos livros didáticos.

Cálculo de logaritmos utilizando uma progressão geométrica em Excel

As progressões geométricas são olhadas como simples conteúdo didático. No entanto, sua primeira serventia aparece quando é ministrado o conteúdo de matemática financeira, para compreensão de juros compostos.

O que pouca gente sabe, é que as progressões geométricas podem nos fornecer, facilmente, os valores dos logaritmos. Este é um dos resultados dos trabalhos do matemático escocês John Napier, um verdadeiro gênio, inventor dos logaritmos que, por anos, simplificaram os cálculos manuais dos matemáticos e engenheiros.

Observe a tabela a seguir:

Esta tabela é uma progressão de base 1,1. Por que escolhemos este número ? Porque a multiplicação por 1,1 é muito fácil. Basta escrever o número, e depois repetir o mesmo deslocado de uma casa decimal. Por exemplo:

   1,1

      1,1 x

   1 1

   1 1     

  1, 2 1 

Escrevemos o número 11, e abaixo novamente, apenas deslocado de uma casa à esquerda. Portanto, esta progressão não trará nenhuma dificuldade, e vai servir a vários propósitos, como você verá neste e em outros posts.

Por que interrompemos a progressão no valor 10,83... ? Porque o valor do logaritmo de 10 é bem conhecido, ou seja, o logaritmo de 1o na base 10 é a própria unidade, pois o logaritmo de 10 na base 10 é 1 (número igual à base).

No quadro a seguir destacamos o local onde será encontrado o valor de 10, por interpolação, na progressão.

A seguir, o mesmo para o número 9.

E o mesmo para o número 2.

O próximo passo é achar o valor na escala aritmética (primeira coluna) o valor correspondente ao 10 na progressão geométrica (segunda coluna). Para fazê-lo, formulamos a proporção direta a seguir. A distância do número 25 (maior valor da progressão aritmética, em relação ao 10) menos o valor que estamos procurando, em relação ao valor 10,8347059433884 (maior valor da progressão geométrica, em relação ao 10) é proporcional à razão entre a diferença entre 25 e 24 (valores na escala aritmética) e a diferença entre os valores correspondentes a 25 e 24 na escala geométrica (10,83 ... e 9,84...).

O resultado é mostrado a seguir, e vai servir de referência para se obter os outros logaritmos. Lembre-se que isto é uma verdade pelo fato do logaritmo de 10 ser conhecido.

Ou seja, para o valor achado na escala aritmética, o valor do logaritmo, na base 10, é 1.

Agora, fazemos o mesmo para o número 9. Esperamos que ele esteja, em relação à progressão aritmética, entre os números 23 e 24. Formulamos a mesma proporção feita para se achar o número 10 na progressão geométrica (segunda coluna).

Achamos que o valor de 9 corresponde ao número mostrado a seguir:

Este valor nós dividimos pelo valor achado para o 10, nosso valor referência:

Pode conferir em uma tabela de logaritmos ou na calculadora, o valor do logaritmo de 9, para ver que esta é uma boa aproximação.

E, finalmente, façamos os mesmos procedimentos para o número 2. Esperamos achá-lo entre os valores 7 e 8 em relação à progressão aritmética:

Obtemos o valor para a segunda coluna:

E dividimos pelo valor referencial para 10, como anteriormente fizemos para o número 9, obtendo:

Este valor é uma boa aproximação para o logaritmo de 2, como você pode constatar pela calculadora ou através de uma tabela de logaritmos.

Como calcular logaritmos numericamente

Os logaritmos já ajudaram muito os engenheiros do passado. Usando os seus princípios, eles construíram a precursora da Calculadora: a régua de cálculo:

A régua de cálculo transformava multiplicações em somas e divisões em subtrações, como é de se esperar que as propriedades dos logaritmos tornem isto possível. Mas como eles foram calculados ?

Um exemplo com logaritmo de 2

Sendo o número 2 inferior à base (10), iniciamos o seu valor com:

0, ...

Como ele não pode ser dividido por 10 (a base do logarítmo decimal), elevamos o mesmo à décima potência:

2¹⁰ = 1024

Este será o número que dará origem à próxima casa decimal de nosso logarítmo. Façamos as divisões sucessivas por 10 (a base):

1024/10 = 102,4
102,4/10 = 10,24
10,24 = 1,024 (resultado menor que 10 [a base], então paramos)

Foram 3 divisões até se obter um valor inferior a 10 (a base), portanto acrescentamos 3 ao valor do logaritmo:

0,3 ...

Como ele não pode ser dividido por 10 (a base do logarítmo decimal), elevamos o mesmo à décima potência:

1,024¹⁰ = 1,2676506002

Este será o número que dará origem à próxima casa decimal de nosso logarítmo. Como o número resultante da exponenciação à décima potência é menor que 10, não podemos fazer as divisões sucessivas por 10 (a base), desta forma acrescentamos um 0 ao valor do logarítmo:

0,30 ...

Como ele não pode ser dividido por 10 (a base do logarítmo decimal), elevamos o mesmo à décima potência:

1,2676506002¹⁰ =10,7150860694

Este será o número que dará origem à próxima casa decimal de nosso logarítmo. Façamos as divisões sucessivas por 10 (a base):

10,7150860694/10 = 1,07150860694 (resultado menor que 10 [a base], então paramos)

Foi 1 divisão até se obter um valor inferior a 10 (a base), portanto acrescentamos 1 ao valor do logaritmo:

0,301 ...

Como ele não pode ser dividido por 10 (a base do logarítmo decimal), elevamos o mesmo à décima potência:

1,07150860694¹⁰ =1,9950631122

Este será o número que dará origem à próxima casa decimal de nosso logarítmo. Como o número resultante da exponenciação à décima potência é menor que 10, não podemos fazer as divisões sucessivas por 10 (a base), desta forma acrescentamos um 0 ao valor do logarítmo:

0,3010 ...

Como ele não pode ser dividido por 10 (a base do logarítmo decimal), elevamos o mesmo à décima potência:

1,9950631122¹⁰ =999,0020695760

Este será o número que dará origem à próxima casa decimal de nosso logarítmo. Façamos as divisões sucessivas por 10 (a base):

999,0020695760/10 = 99,90020695760
99,90020695760/10 = 9,990020695760 (resultado menor que 10 [a base], então paramos)

Foram 2 divisões até se obter um valor inferior a 10 (a base), portanto acrescentamos 2 ao valor do logaritmo:

0,30102 ...

Esta é a nossa aproximação com 5 casas do logaritmo de 2 na base 10. Poderíamos continuar com o cálculo, mas nosso objetivo é apenas demonstrar o cálculo do logarítmo.

Como calcular percentual - como se calcula tantos porcento

Pode parecer um absurdo mostrar como se calcula o percentual. Isto é ensinado na escola, e deveria ser de domínio público e de conhecimento universal. No entamto, nos anos 2000, ápice das Redes Sociais, das Pegadinhas na TV e dos Reality Shows, este é um conhecimento que foi esquecido. Então vamos ressuscitar o tema.

O que significa percentual

O nome Percentual ou Porcento quer dizer uma proporção em relação a 100. Ou seja, comparamos quaisquer quantidades proporcionalmente.

Por exemplo:

Uma fábrica recebe 300 canos de aço em um mês. Destes, 60 vem com defeito. No mês seguinte, recebe 1000 canos, e destes 100 vem com defeito. Pergunta-se:

Qual das duas remessas pode ser considerada a mais defeituosa ?

Não podemos usar valores absolutos, e dizer que a do segundo mês foi pior, pois estamos comparando quantidades diferentes de canos enviados. Recorremos ao percentual:

Primeiro mês:

60 / 300 = 0,20 (valor relativo)

0,20 x 100 = 20 % (valor percentual, ou seja, valor relativo vezes 100)

Segundo mês:

100 / 1000 = 0,10 (valor relativo)

0,10 x 100 = 10 % (valor percentual, ou seja, valor relativo vezes 100)

Explicação

O leitor compreendeu o que foi feito ? Transformamos os valores relativos entre si em valores relativos a 100 (percentual), para fazermos a comparação em relação a um único referencial, convencionado como o número 100. Apenas isto.

Resultado

A amostra mais defeituosa é aquela de maior percentual de canos defeituosos, ou seja, a do primeiro mês de remessa. E como isto pode ser explicado em termos sensíveis ?

A primeira remessa é menos numerosa, portanto poucos defeitos contam muito. A segunda é bem maior portanto, para produzir uma impressão de defeito, é necessária uma quantidade maior de canos defeituosos.

A comparação por percentual harmonizou a razão entre os canos defeituosos e os canos remetidos.

Conclusão

O percentual oferece uma base única para comparações. Podemos comparar quantidades diferentes, tanto da remessa enviada, quanta das peças que apresentaram defeito.

Uma das principais aplicações em nosso cotidiano é a taxa de inflação

 

Consumo de combustível - erro de interpretação

Foi apresentado o seguinte problema aos alunos da 6a. série:

Um motorista consegue percorrer 300 km com exatamente 3/4 do tanque. Quanto quilômetros ele fará com metade do tanque ?

Existem duas interpretações para o problema:

• A impulsiva instintiva;
• A abordagem inteligente.

Inpulsiva instintiva

A impulsiva instintiva se baseia em algo muito comum nas salas de aula de crianças de 12 anos. Eles decoram um macete que pode dar tremendamente errado: " ... quando acontecer isto, divide pelo número de baixo ...".

Então os alunos desavisados fazem a conta ERRADA, pela sua impulsividade e falta de raciocínio:

Tirando a prova, olha o que acontece.

Como são 3 partes preenchidas, multiplicamos cada uma por 75 km (resposta achada para cada parte):

75 km x 3 = 225 km

Ou seja, fazendo a prova lógica do problema, ainda no enunciado, achamos menos de 300 Km.

A forma inteligente

VEMOS CLARAMENTE pelo desenho que 300 Km corresponde ao gasto com 3 (três) partes do tanque, e não 4 (quatro). A quarta parte está vazia, PORTANTO NÃO CONTA COMO PARTE.

Portanto, a conta correta é:

Viu ? Para descobrir quanto vale cada parte, divida o equivalente em km da soma das partes, pelo número de partes. Pare de ouvir o que os colegas falam para tentar resolver o problema de uma vez só (e errado), e PENSE COM A SUA CABEÇA.

Segunda parte da resolução do problema

Agora é preciso calcular quantos quilômetros se faz com metade do tanque. Metade de um tanque que tem 4 partes equivale a duas partes:

Portanto, meio tanque, ou 2 partes de um tanque com 4 partes, dá para andar 200 Km com o veículo do problema.

Geometria - Problema envolvendo áreas - Quadrados

Os problemas com áreas geométricas envolvem o uso de estratégias visuais complementares e diferenças, como iremos constatar neste problema:

Estes quadrados representam divisões de um grande terreno. Cada pessoa (A, B, C, D e E) comprou uma parte do terreno.

Enunciado

Os terrenos A, D e E tem a forma de quadrados IGUAIS. O quadrado A tem 3 m de lado. B e C também são quadrados, e são iguais.

Resoluç~so do Problema

O aluno deve deduzir que, se A é um quadrado, AMBOS os lados tem a mesma medida, como mostrado abaixo. E como o enunciado fala que D e E são como o quadrado A, todos tem asa mesmas medidas.

Até agora temos o seguinte:

E como descobrir as medidas dos quadrados B e C (iguais) ?

Se eles são iguais, os 3 m do lado do quadrado A, ou D, representam o DOBRO de B ou C, portanto, basta dividir 3 m (lado do quadrado A ou D) por 2, obtendo 1,5 m, como mostrado abaixo.

Feito isto, vamos somar, usando as simplificações deduzidas do fato de termos quadrados iguais e de dois tipos, as áreas dos quadrados:

Quadrados maiores (A, D e E)

3 x 3 m x 3 m = 27 m²

Já partimos para a multiplicação por 3 pelo fato dos três quadfrados maiores serem idênticos, logo possuem a mesma área.

Quadrados menores (B e C)

2 x 1,5 m x 1,5 m = 4,5 m²

Somando as áreas de todos os quadrados conhecidos

27 m² + 4,5 m² =  31,5 m²

Bem, temos as áreas conhecidas. A área hachurada é a que queremos achar. Para isto, é preciso subtrair da área de TODO o terreno, as áreas conhecidas e já calculadas.

Área de TODO o terreno

( 3 m + 1,5 m + 3 m) x ( 3 m + 3 m ) = 7,5 m x 6 m = 45 m²

Tirando da área de TODO o terreno as áreas conhecidas

45 m² - 31,5 m² =  13,5 m²


Problema Resolvido

Regra de três - Problemas típicos

Gasto de combustível

Para fazer os deslocamentos de automóvel para o trabalho, Sara Jane gasta 44 litros de álcool por mês. Quanto ela gasta por ano para trabalhar, levando em conta que tira 30 dias de férias ?

Encarando este problema matemático do ponto de vista dedutivo, uma pessoa experimentada logo multiplicaria 44 x 12 para obter o número de litros a gastar. Depois, lembrando que o problema menciona férias de 30 dias, que equivale a um mês (30/31 dias), ela refaz a operação em 44 x 11, cujo resultado é: 484 litros.

Mas de onde veio a dedução de que a operação a ser feita seria a multiplicação ?

Veio do raciocínio proporcional, que é o mais correto:

44 litros EQUIVALE a 1 mês de consumo, ASSIM COMO X litros EQUIVALE a 1 ano menos 1 mês de consumo.

Unificando as unidades, teríamos o raciocínio traduzido para:

44 litros EQUIVALE a 1 mês de consumo, ASSIM COMO X litros EQUIVALE a 11 meses de consumo.

Existem duas formas de expressar aritmeticamente esta verdade matemática:

Você vai observar que o resultado dá o mesmo em um e no outro caso.

Escolhendo a forma mais adequada

Como a primeira forma já tem o X na parte superior das frações, vamos escolhê-la.

Movimento diagonal em uma proporção

Quando um elemento de uma igualdade que expressa este tipo de proporcionalidade troca de lado, ele só pode fazê-lo nas diagonais, como o bispo no jogo de xadrez.

Ao fazer este movimento, ele multiplica o número que está na posição final. Foi isto que aconteceu com o número 11. Ele estava em baixo à direita e subiu para o lado esquerdo em cima (movimento diagonal). Ao fazer isto, ele foi multiplicar o número que divide com ele a parte de cima à esquerda desta igualdade.

Resultado

Efetuando os cálculos, o resultado é : 44 x 11 = 484.

Contra-exemplo do movimento diagonal na igualdade

Esta operação NÃO TEM NADA A VER com o problema apresentado acima. Ela só vai explicar o que não vale para o movimento na diagonal.

Nesta operação, não podemos "subir" o número 11 para a esquerda SEM ANTES fazer o mínimo múltiplo comum entre as duas frações da esquerda, normalizando os valores e transformando-os em uma única fração.

Quando isto for feito, então a regra do movimento diagonal vai valer.