Entendendo a tabuada

Uma forma caseira de entendê-la

Leve seu filho ou filha para o banheiro ou cozinha, e peça que olhe os azulejos da parede. Comece com um grupo de azulejos com 2 de altura e dois azulejos de largura. Mande-o contar quantos tem, e constate com ele que o resultado é quatro:

2 x 2:

Repita o processo para dois azulejos de largura e três de altura. Veja a reação dele, e comente aqui neste blog o que ocorreu.

3 x 2:

Curiosidades

As séries de multiplicação dos números são obrigatórias em sua memorização. São absolutas e simples. No entanto, elas escondem algo muito estranho e uma riqueza de detalhes que pode produzir descobertas quanto a uma forma mais simples de se ensinar esta coisa que é a multiplicação.

Observe a figura:

Este diagrama contém alguns resultados, os mais importantes, das multiplicações de 1 até 100 como produtos. Marcamos nesta figura apenas os locais com resultados próximos de 25, 50, 75 e 100.

O produto de 2 números de 1 a 10 que dê como resultado 75 é o único que não existe, e marcamos o 72 (8 x 9 e 9 x 8).

Traçamos retas diagonais passando pelos produtos exatos ou próximos de 25, 50, 75 e 100, e anotamos as distâncias entre estas retas (segmentos verdes). O resultado é curioso. Não existe uma proporção direta, apesar dos valores estarem sempre separados por 25 unidades entre si.

Tabela das distâncias em relação ao produto 1 x 1:

Número	Distância
25	4,0
50	6,5
75	7,8
100	9,1

A relação entre estas distâncias é logarítmica, pois a cada unidade acrescida aos multiplicadores, o produto não aumenta linearmente, mas de forma quadrática.

Problemas de Matemática - I

Problemas de Matemática devem ser bem sinalizados para um bom entendimento pelas crianças entre 7 e 11 anos. Para esta sinalização devem ser utilizados os recursos de negrito e cores. É o que vamos fazer neste primeiro exemplo:

Uma fábrica produz parafusos. À medida em que ela (a fábrica) produz estes parafusos, vai colocando os mesmos (os parafusos) em um armazém.

O número de parafusos que esta fábrica produz é de 1000 (mil) por dia.

Para crianças desta faixa etária, pronomes como ela e mesmos podem provocar uma confusão em seu raciocínio, capazes de bloquear seu entendimento e impedí-las de prosseguir na resolução do problema. Por isto é importante frisar o significado de tais pronomes com parênteses. Não se deve acreditar que, tendo sido dados exemplos em sala de aula com estas situações, pode-se omitir informações que a criança vai conseguir preencher as lacunas de significado sozinha. Em testes e provas, o grau de estresse pode anular completamente esta suposição.

a) A fábrica foi inaugurada a 5 dias e não entregou parafuso nenhum. Eles (os parafusos) são colocados em caixas com 200 parafusos cada. Quantas caixas existem no armazém hoje, pela manhã ?

b) Hoje, no final do dia, serão entregues 8 caixas. Quantas vão sobrar no armazém ?

c) Quantos parafusos sobrarão no total hoje, no final do dia ?

Esclarecimentos necessários a serem feitos às crianças antes de resolver o problema:

As fábricas, assim como as lojas, escritórios e escolas, começam a trabalhar pela manhã. É no final do dia que calculamos o trabalho, estudo ou quantidade de coisas que fizemos. Portanto, se falamos alguma coisa desta fábrica pela manhã, estamos com o pensamento que nada ainda foi produzido neste dia. Se falamos "final do dia", significa o total do dia, pois o dia acabou, e só no dia seguinte tudo vai começar outra vez;

Contar parafusos e contar caixas são duas coisas diferentes. A tendência da criança desta faixa etária é tentar resolver os cálculos às pressas, misturando número de caixas e número de parafusos.

Resolução

a) Se a fábrica foi inaugurada a 5 dias, o "hoje pela manhã" se refere ao sexto (6º) dia. A pergunta foi feita em número de caixas, e não em número de parafusos. Devemos fazer uma pausa para converter os parafusos produzidos em caixas.

Pergunte ao aluno coisas como (algumas absurdas):

• É a caixa que contém parafusos, ou os parafusos é que contêm as caixas ?
• Você usaria uma caixa grande para guardar um só parafuso ?
• Ao passar os parafusos e ir colocando nas caixas, eu estou dividindo os parafusos nas caixas ou eu estou multiplicando ?

A resposta é:

5 dias x 1000 parafusos por dia

        200 parafusos por caixa

Ou seja, 25 caixas.

b) O importante, nesta alternativa, é a criança ter a noção de que está no 6º dia, e não no 5º dia. Portanto, se temos 6 dias de produção, o número de caixas total produzido é:

6 dias x 1000 parafusos por dia 

        200 parafusos por caixa

Ou seja, 30 caixas.

No entanto, como 8 caixas serão entregues, sobrarão 22 caixas.

c) A pergunta é a mesma da alternativa (b), porém é pedido o número de parafusos. É conveniente repetir a pergunta feita anteriormente ao aluno:

• É a caixa que contém parafusos, ou os parafusos é que contêm as caixas ?

Portanto:

22 caixas x 200 parafusos por caixa = 4400 parafusos

O número dez

Não se surpreenda o jovem, ao entrar na escola, e começar a entrar em contato com os cálculos matemáticos, em torno do número 10 (sistema decimal). Dez são os dedos da mão, e dez são os dedos dos pés. Quase que a dúzia (12) foi escolhida por ter mais divisores do que o dez. Mas o dez acabou vingando com somente dois divisores (2 e 5).

Após meditar muito, e por ser um místico, encontrei uma razão para o dez ter vencido: DEZ É O NÚMERO DA TEIMOSIA DO HOMEM. Você já deve ter lido a Bíblia, ou ouvido, pelo menos, a história do Êxodo, quando os israelitas deixaram o Egito (foram mandados embora). Para que conseguissem isto, Deus castigou o Egito com dez pragas. Aí está a explicação. Foram necessárias 10 pragas para convencer o Faraó (rei) do Egito a deixar os israelitas saírem. Eu teria deixado após três, vendo meu país ser destruído. Mas o teimoso Faraó precisou de 10 demonstrações do poder de Deus para isto.

É uma curiosidade, importante para quem quer fazer parte dos Comandos da Matemática.

A soma dos quatro primeiros números

Uma curiosidade matemática. Observe o quadro com os quatro primeiros números, múltiplos de 1, 2, 3, 4 e 5, extensíveis aos demais números:

Números	Múltiplos de 2	Múltiplos de 3	Múltiplos de 4	Múltiplos de 5
1	2	3	4	5
2	4	6	8	10
3	6	9	12	15
4	8	12	16	20
Soma: 10	Soma: 20	Soma: 30	Soma: 40	Soma: 50

A soma dos quatro primeiros números de cada coluna de múltiplos é sempre dez vezes o fator do múltiplo. Ou seja, se é dos múltiplos de 2, a soma é 20, dos de três é 30, e assim por diante.

O número três

Não vamos à psicologia nem à mitologia para descrever os aspectos do número três. Apenas vamos entrar a fundo em como vemos as coisas.

Uma criança vê dois. O que queremos dizer com isto ? Queremos dizer que ela vê apenas os extremos:

Primeiro Extremos	Segundo Extremo
Branco	Preto
Baixo	Alto
Gordo	Magro
Oito	Oitenta

à medida em que amadurece, ela percebe intermediários, mas de modo restrito, o meio.

Crianças tem muita dificuldade com o mais-ou-menos.

E para o olho de que já amadureceu, já existem dois extremos, e um lugar no meio destes extremos. Este é o aspecto didático e sensitivo do número três que queríamos passar.

Quadrados perfeitos de 1 a 9

Acompanhe um garoto entre 8 e 10 anos de idade em sua dificuldade para decorar a tabuada de multiplicação. Acho decorar algo que não se deve pedir às pessoas. É preciso entender e construir um sistema. Para eles eu dedico este macete

1 x 1 = 1 (óbvio)

2 x 2 = 4

Este produto é tres unidades a mais que o quadrado perfeito anterior (1 x 1).

3 x 3 = 9

Este produto é cinco unidades a mais que o quadrado perfeito anterior (2 x 2)

E quanto será 4 x 4 ?
Vamos somar 7 unidades ao produto anterior (3 x 3 = 9):

4 x 4 = 9 + 7 = 16

E quanto será 5 x 5 ?

Vamos somar 9 unidades ao produto anterior (4 x 4 = 16):

5 x 5 = 16 + 9 = 25

Entendeu ?

A soma da sequência dos números ímpares sobre os quadrados anteriores produz a sequência dos quadrados perfeitos:

Produto	Resultado anterior	Número Ímpar a somar ao produto anterior	Resultado
1 x 1	Não tem	Não tem	1
2 x 2	1	3	4
3 x 3	4	5	9
4 x 4	9	7	16
5 x 5	16	9	25
6 x 6	25	11	36
7 x 7	36	13	49
8 x 8	49	15	64
9 x 9	64	17	81

Curioso, não ? Existe uma explicação geométrica para isto, mas nossos meninos não precisam saber disto agora.

Os quadrados perfeitos

Vamos mostrar uma curiosidade sobre a tabuada de multiplicação entre os números iguais:

1x1, 2x2, 3x3, 4x4, 5x5, 6x6, 7x7, 8x8 e 9x9

Em uma tabela:

Número	Número x Número	Diferença para o anterior
1	1 x 1 = 1	-
2	2 x 2 = 4	3
3	3 x 3 = 9	5
4	4 x 4 = 16	7
5	5 x 5 = 25	9
6	6 x 6 = 36	11
7	7 x 7 = 49	13
8	8 x 8 = 64	15
9	9 x 9 = 81	17

Muito interessante, a partir de 2 x 2, basta ir somando aos produtos a sequência de números ímpares.

Pronto, você já é doutor nos quadrados perfeitos da tabuada.