Escrevendo e decifrando números decimais ou frações

Podemos encontrar muitos adultos que não sabem ler, escrever e compreender os números decimais.

Templates ou moldes

Para a melhor compreensão de comportamentos e regras, os padrões, moldes ou templates (termo utilizado nesta era da Internet) são muito úteis. Depois que compreendemos realmente o comportamento em questão, não necessitamos mais destes padrões, pois passamos a dominar o assunto pelo raciocínio, e não mais por regras.

Padrão da divisão por 10 (dez)

Padrão da divisão por 100 (cem)

Padrão da divisão por 1000 (mil)

No exemplo existe uma pequena "armadilha". Não foram ocupadas todas as casas com números. A primeira casa deois da vírgula contém zero (é um número,mas confunde as crianças). Então colocamos no resultado o zero também (nem precisava):

É preciso lembrar que:

ZERO também é um NÚMERO

Multiplicação com dois algarismos usando o método Gelosia

O método Gelosia para multiplicação de números com dois algarismos é apresentado abaixo, e dispensa muitas explicações:

Podemos notar que:

A multiplicação de dois números de dois algarismos só produz um número com, no máximo, 4 algarismos (o maior produto é 9801 = 99 x 99);
O primeiro algarismo da direita é o algarismo da direita do produto dos dois algarismos da direita de ambos os números (você consegue repetir isto sem ler ?);

Tabuada fatorada de Meyer

O que é uma tabuada fatorada ?

Fatoração o leitor sabe o que é. É um processo para descoberta de todos os divisores de um número.

Uma tabuada fatorada é aquela que apresenta os divisores nas operações respectivas que produzem os resultados em uma escala.

Veja a figura:

Os números estão identificados por cores para facilitar a sua identificação. Trabalhamos na escala de cada número para que os resultados também estivessem em escala, e o melhor resultado foi obtido quando utilizamos os logaritmos como proporção de seu tamanho.

Repare que a figura dos números progressivos forma, à primeira vista, uma parábola, mas ela corresponde realmente a uma curva logarítmica invertida, pois foi feita de cabeça para baixo.

Este gráfico pode ser muito explorado em sala de aula, de forma instrumental, através do corte dos segmentos para mostrar, na forma de brincadeira, qual produto é maior, qual é o produto de uma operação em relação a outra conhecida e cujo segmento formado é aproximadamente igual, e muitas outras aplicações para esclarecimento do aluno.

Uma sugestão é cortar os segmentos na largura próxima das cartas de baralho, mas respeitando a altura mostrada. Amplie a figura na hora da impressão.

Ele também mostra não só os produtos da tabuada de um algarismo versus um algarismo, mas introduz alguns produtos de 11 a 19.

Baixe a figura em tamanho real, ou em formato PDF.

Bom divertimento.

Frações no curso fundamental - I

O assunto frações na matemática do ensino fundamental já inibe pelo seu próprio nome: frações. Esta palavra está distante da fonética associativa do vocabulário da criança entre 10 e 12 anos. O cenário piora com os termos "numerador" e "denominador". Denominador é uma palavra muito estranha para o vernáculo desta faixa etária.

O que o professor deve fazer

O professor deve introduzir o assunto dizendo que:

"Se o nome do que vamos aprender é difícil, não significa que a matéria é difícil"

É bom que os alunos anotem esta frase no caderno.

E posteriormente:

"Frações é apenas um estudo mais detalhado das divisões. Não passa disto."

Isto vai tranquilizar as crianças. O mesmo princípio pode ser aplicado a outros tópicos e de outras disciplinas também.

Os problemas de frações - As três variações

As situações problemas de frações simples são de 3 tipos:

1. Um edifício tem 60 apartamentos. Se 1/5 dos moradores saíram de férias, quantos eles são ?

2. Em um edifício, 24 apartamentos correspondem a 2/5 do total. Quantos apartamentos tem este edifício ?

3. Nas férias, 4/5 dos apartamentos de um edifício permaneceram ocupados, enquanto 12 ficaram vazios. Quantos apartamentos tem o edifício ?

Estes problemas poderiam ser facilmente resolvidos com equações do primeiro grau. No entanto, antes desta matéria ser dada, pede-se aos alunos para usar o raciocínio. Sugerimos o uso de desenhos esquemáticos para tal fim.

Nos próximos posts daremos os raciocínios para se resolver estes fáceis problemas.

Método de multiplicação Gelosia

Hoje, descobrindo métodos de multiplicação na Internet, me pergunto por que não nos foram dados os melhores, e sim o convencional método de número debaixo de número, com tantas possibilidades de erro nos "vai um", "vai dois", etc.

O método Gelosia

Junto com os algarismos arábicos, que realmente são indianos em sua concepção, e não árabes, os indianos praticavam, e ainda praticam (fora da máquina de calcular), um método infalível de multiplicação.

Seja o produto 237 x 34. Dispomos os seus algarismos na beirada de um retângulo, e efetuamos, despreocupadamente, os produtos de cada intersecção de casas, colocando o resultado em duas casas dos quadrados estabelecidos separadas por uma diagonal.

Multiplicamos, despreocupadamente, e até sem uma ordem pré-definida, cada encontro de pares de números desta "tabela". Por exemplo, no encontro do 7 (linha vertical) com o 4 (segunda linha horizontal), temos o produto 28. Anotamos o 2 da dezena à esquerda da diagonal e o 8 da unidade na porção direita da diagonal. Quando a dezena do produto produzido não existir (zero), colocamos o mesmo à esquerda da diagonal.

Resultado

Ao final, e sem preocupar com "vai um", "vai dois", etc, "puxamos" os valores somados das diagonais (mostrados pelas setas pontilhadas) para baixo. Se algum valor passar de 9 unidades, ai sim fazemos o "vai um", "vai dois", etc.

Aqui o produto obtido foi 8058. Simples, não. Só falta nos responderem por que este método não é dado nas escolas, no momento em que os alunos mais precisam.

Logaritmos nos ajudando nas operações aritméticas

Os logarítmos transformam a multiplicação em uma soma, e uma divisão em uma subtração.

Decerto que podemos utilizar a calculadora para estas operações. No entanto, o uso de logarítmos pode expandir a nossa capacidade de fazer estimativas de cálculos que nenhum outro recurso pode.

Logarítmos não são proporcionais

Observe a tabela de logarítmos decimais dos números de 1 a 9:

Número	Logarítmo (Base10)
1	0
2	0,301030
3	0,477121
4	0,602060
5	0,698970
6	0,778151
7	0,845098
8	0,903090
9	0,954242

Não existe proporcionalidade direta entre Número e logarítmo, mesmo na base 10. Até mais ou menos o número 5, os valores sobem bastante, depois sobem poucos décimos. Do número 1 para o 2, a diferença é grande em relação aos demais.

Mas existem algumas regras

Repare que o logarítmo de 4 é o dobro do logarítmo de 2 pois 2² é 4. O de 8 é o triplo do de 2, pois 2³ é 8.

Algo ocorre também entre 2, 3 e 6. O logarítmo de 6 é o do 2 somado com o do 3. Confira:

 0,301030 +  0,477121 =  0,778151

Isto é uma propriedade dos logarítmos. Como 2 x 3 = 6, a soma dos logarítmos dos fatores da multiplicação é igual ao logarítmo do produto. Daí dizermos que pelo logarítmo um produto pode ser substituído por uma soma.

O logarítmo de 9 é o dobro do logarítmo de 3 pois 3³ = 9. Pode conferir.

Entendendo a tabuada

Uma forma caseira de entendê-la

Leve seu filho ou filha para o banheiro ou cozinha, e peça que olhe os azulejos da parede. Comece com um grupo de azulejos com 2 de altura e dois azulejos de largura. Mande-o contar quantos tem, e constate com ele que o resultado é quatro:

2 x 2:

Repita o processo para dois azulejos de largura e três de altura. Veja a reação dele, e comente aqui neste blog o que ocorreu.

3 x 2:

Curiosidades

As séries de multiplicação dos números são obrigatórias em sua memorização. São absolutas e simples. No entanto, elas escondem algo muito estranho e uma riqueza de detalhes que pode produzir descobertas quanto a uma forma mais simples de se ensinar esta coisa que é a multiplicação.

Observe a figura:

Este diagrama contém alguns resultados, os mais importantes, das multiplicações de 1 até 100 como produtos. Marcamos nesta figura apenas os locais com resultados próximos de 25, 50, 75 e 100.

O produto de 2 números de 1 a 10 que dê como resultado 75 é o único que não existe, e marcamos o 72 (8 x 9 e 9 x 8).

Traçamos retas diagonais passando pelos produtos exatos ou próximos de 25, 50, 75 e 100, e anotamos as distâncias entre estas retas (segmentos verdes). O resultado é curioso. Não existe uma proporção direta, apesar dos valores estarem sempre separados por 25 unidades entre si.

Tabela das distâncias em relação ao produto 1 x 1:

Número	Distância
25	4,0
50	6,5
75	7,8
100	9,1

A relação entre estas distâncias é logarítmica, pois a cada unidade acrescida aos multiplicadores, o produto não aumenta linearmente, mas de forma quadrática.