Cálculo de raiz quadrada utilizando uma progressão geométrica em Excel

Apesar de ocupar pouco espaço no currículo do nível médio, o cálculo de raiz quadrada, nos moldes curriculares vigentes, pode ser classificado de complexo.

Porém, o renomado matemático Napier, inventor dos logaritmos, nos deu uma pista de como isto poderia ser feito, em sua análise das progressões geométricas.

Vamos exemplificar o uso das progressões no Cálculo da Raiz Quadrada de 4.

Novamente vamos utilizar a progressão geométrica de base 1,1. Vamos construir a tabela de progressão até o valor mais próximo de 4 e acima.

Utilizando o recurso da Interpolação, vamos procurar o valor exato, na escala aritmética (coluna da esquerda) correspondente ao número 4, objeto de nossa procura pela raiz. Observamos a coluna da direita e verificamos que este valor está entre 3,79749833583241 e 4,17724816941566, correspondente à região entre o 14 e o 15 da escala aritmética (coluna da esquerda).

Montamos a equação da proporção entre os valores como mostrado a seguir:

Como se trata da raiz quadrada, cujo expoente inverso é o 2 (se fosse a raiz cúbica seria o 3 e assim por diante):

Utilizamos o valor obtido para nova interpolação nesta mesma tabela, para achar, na progressão geométrica (coluna da direita) o valor correspondente ao x/2 achado na equação acima, obtendo:

O resultado obtido é bem próximo da raiz exata conhecida de 4, ou seja, 2 com erro na quarta casa decimal, considerado muito adequado, tendo nós utilizado um valor não muito baixo para a progressão.

Repare que o processo é muito simples, envolvendo apenas a interpolação de intervalos e, de longe, bem mais rápido do que aquele que consta nos livros didáticos.

Cálculo de logaritmos utilizando uma progressão geométrica em Excel

As progressões geométricas são olhadas como simples conteúdo didático. No entanto, sua primeira serventia aparece quando é ministrado o conteúdo de matemática financeira, para compreensão de juros compostos.

O que pouca gente sabe, é que as progressões geométricas podem nos fornecer, facilmente, os valores dos logaritmos. Este é um dos resultados dos trabalhos do matemático escocês John Napier, um verdadeiro gênio, inventor dos logaritmos que, por anos, simplificaram os cálculos manuais dos matemáticos e engenheiros.

Observe a tabela a seguir:

Esta tabela é uma progressão de base 1,1. Por que escolhemos este número ? Porque a multiplicação por 1,1 é muito fácil. Basta escrever o número, e depois repetir o mesmo deslocado de uma casa decimal. Por exemplo:

   1,1

      1,1 x

   1 1

   1 1     

  1, 2 1 

Escrevemos o número 11, e abaixo novamente, apenas deslocado de uma casa à esquerda. Portanto, esta progressão não trará nenhuma dificuldade, e vai servir a vários propósitos, como você verá neste e em outros posts.

Por que interrompemos a progressão no valor 10,83... ? Porque o valor do logaritmo de 10 é bem conhecido, ou seja, o logaritmo de 1o na base 10 é a própria unidade, pois o logaritmo de 10 na base 10 é 1 (número igual à base).

No quadro a seguir destacamos o local onde será encontrado o valor de 10, por interpolação, na progressão.

A seguir, o mesmo para o número 9.

E o mesmo para o número 2.

O próximo passo é achar o valor na escala aritmética (primeira coluna) o valor correspondente ao 10 na progressão geométrica (segunda coluna). Para fazê-lo, formulamos a proporção direta a seguir. A distância do número 25 (maior valor da progressão aritmética, em relação ao 10) menos o valor que estamos procurando, em relação ao valor 10,8347059433884 (maior valor da progressão geométrica, em relação ao 10) é proporcional à razão entre a diferença entre 25 e 24 (valores na escala aritmética) e a diferença entre os valores correspondentes a 25 e 24 na escala geométrica (10,83 ... e 9,84...).

O resultado é mostrado a seguir, e vai servir de referência para se obter os outros logaritmos. Lembre-se que isto é uma verdade pelo fato do logaritmo de 10 ser conhecido.

Ou seja, para o valor achado na escala aritmética, o valor do logaritmo, na base 10, é 1.

Agora, fazemos o mesmo para o número 9. Esperamos que ele esteja, em relação à progressão aritmética, entre os números 23 e 24. Formulamos a mesma proporção feita para se achar o número 10 na progressão geométrica (segunda coluna).

Achamos que o valor de 9 corresponde ao número mostrado a seguir:

Este valor nós dividimos pelo valor achado para o 10, nosso valor referência:

Pode conferir em uma tabela de logaritmos ou na calculadora, o valor do logaritmo de 9, para ver que esta é uma boa aproximação.

E, finalmente, façamos os mesmos procedimentos para o número 2. Esperamos achá-lo entre os valores 7 e 8 em relação à progressão aritmética:

Obtemos o valor para a segunda coluna:

E dividimos pelo valor referencial para 10, como anteriormente fizemos para o número 9, obtendo:

Este valor é uma boa aproximação para o logaritmo de 2, como você pode constatar pela calculadora ou através de uma tabela de logaritmos.