Como calcular logaritmos numericamente

Os logaritmos já ajudaram muito os engenheiros do passado. Usando os seus princípios, eles construíram a precursora da Calculadora: a régua de cálculo:

A régua de cálculo transformava multiplicações em somas e divisões em subtrações, como é de se esperar que as propriedades dos logaritmos tornem isto possível. Mas como eles foram calculados ?

Um exemplo com logaritmo de 2

Sendo o número 2 inferior à base (10), iniciamos o seu valor com:

0, ...

Como ele não pode ser dividido por 10 (a base do logarítmo decimal), elevamos o mesmo à décima potência:

2¹⁰ = 1024

Este será o número que dará origem à próxima casa decimal de nosso logarítmo. Façamos as divisões sucessivas por 10 (a base):

1024/10 = 102,4
102,4/10 = 10,24
10,24 = 1,024 (resultado menor que 10 [a base], então paramos)

Foram 3 divisões até se obter um valor inferior a 10 (a base), portanto acrescentamos 3 ao valor do logaritmo:

0,3 ...

Como ele não pode ser dividido por 10 (a base do logarítmo decimal), elevamos o mesmo à décima potência:

1,024¹⁰ = 1,2676506002

Este será o número que dará origem à próxima casa decimal de nosso logarítmo. Como o número resultante da exponenciação à décima potência é menor que 10, não podemos fazer as divisões sucessivas por 10 (a base), desta forma acrescentamos um 0 ao valor do logarítmo:

0,30 ...

Como ele não pode ser dividido por 10 (a base do logarítmo decimal), elevamos o mesmo à décima potência:

1,2676506002¹⁰ =10,7150860694

Este será o número que dará origem à próxima casa decimal de nosso logarítmo. Façamos as divisões sucessivas por 10 (a base):

10,7150860694/10 = 1,07150860694 (resultado menor que 10 [a base], então paramos)

Foi 1 divisão até se obter um valor inferior a 10 (a base), portanto acrescentamos 1 ao valor do logaritmo:

0,301 ...

Como ele não pode ser dividido por 10 (a base do logarítmo decimal), elevamos o mesmo à décima potência:

1,07150860694¹⁰ =1,9950631122

Este será o número que dará origem à próxima casa decimal de nosso logarítmo. Como o número resultante da exponenciação à décima potência é menor que 10, não podemos fazer as divisões sucessivas por 10 (a base), desta forma acrescentamos um 0 ao valor do logarítmo:

0,3010 ...

Como ele não pode ser dividido por 10 (a base do logarítmo decimal), elevamos o mesmo à décima potência:

1,9950631122¹⁰ =999,0020695760

Este será o número que dará origem à próxima casa decimal de nosso logarítmo. Façamos as divisões sucessivas por 10 (a base):

999,0020695760/10 = 99,90020695760
99,90020695760/10 = 9,990020695760 (resultado menor que 10 [a base], então paramos)

Foram 2 divisões até se obter um valor inferior a 10 (a base), portanto acrescentamos 2 ao valor do logaritmo:

0,30102 ...

Esta é a nossa aproximação com 5 casas do logaritmo de 2 na base 10. Poderíamos continuar com o cálculo, mas nosso objetivo é apenas demonstrar o cálculo do logarítmo.

Como calcular percentual - como se calcula tantos porcento

Pode parecer um absurdo mostrar como se calcula o percentual. Isto é ensinado na escola, e deveria ser de domínio público e de conhecimento universal. No entamto, nos anos 2000, ápice das Redes Sociais, das Pegadinhas na TV e dos Reality Shows, este é um conhecimento que foi esquecido. Então vamos ressuscitar o tema.

O que significa percentual

O nome Percentual ou Porcento quer dizer uma proporção em relação a 100. Ou seja, comparamos quaisquer quantidades proporcionalmente.

Por exemplo:

Uma fábrica recebe 300 canos de aço em um mês. Destes, 60 vem com defeito. No mês seguinte, recebe 1000 canos, e destes 100 vem com defeito. Pergunta-se:

Qual das duas remessas pode ser considerada a mais defeituosa ?

Não podemos usar valores absolutos, e dizer que a do segundo mês foi pior, pois estamos comparando quantidades diferentes de canos enviados. Recorremos ao percentual:

Primeiro mês:

60 / 300 = 0,20 (valor relativo)

0,20 x 100 = 20 % (valor percentual, ou seja, valor relativo vezes 100)

Segundo mês:

100 / 1000 = 0,10 (valor relativo)

0,10 x 100 = 10 % (valor percentual, ou seja, valor relativo vezes 100)

Explicação

O leitor compreendeu o que foi feito ? Transformamos os valores relativos entre si em valores relativos a 100 (percentual), para fazermos a comparação em relação a um único referencial, convencionado como o número 100. Apenas isto.

Resultado

A amostra mais defeituosa é aquela de maior percentual de canos defeituosos, ou seja, a do primeiro mês de remessa. E como isto pode ser explicado em termos sensíveis ?

A primeira remessa é menos numerosa, portanto poucos defeitos contam muito. A segunda é bem maior portanto, para produzir uma impressão de defeito, é necessária uma quantidade maior de canos defeituosos.

A comparação por percentual harmonizou a razão entre os canos defeituosos e os canos remetidos.

Conclusão

O percentual oferece uma base única para comparações. Podemos comparar quantidades diferentes, tanto da remessa enviada, quanta das peças que apresentaram defeito.

Uma das principais aplicações em nosso cotidiano é a taxa de inflação